浮点数在计算机中的表示方法

java基本数据类型数据范围

java中基本数据类型所占字节数：


System.out.println("Integer: " + Integer.SIZE/8);           // 4    
System.out.println("Short: " + Short.SIZE/8);               // 2        
System.out.println("Long: " + Long.SIZE/8);                 // 8    
System.out.println("Byte: " + Byte.SIZE/8);                 // 1    
System.out.println("Character: " + Character.SIZE/8);       // 2    
System.out.println("Float: " + Float.SIZE/8);               // 4    
System.out.println("Double: " + Double.SIZE/8);             // 8

所以其表示范围如下:

数据类型        所占字节      表示范围  
byte        1(8bit)       -128-127
short       2(16bit)      -32768-32767
int         4(32bit)      -2^31-2^31-1
long        8(64bit)      -2^63-2^63-1
float       4(32bit)      -3.4E+38-3.4E+38
double      8(64bit)      -1.79E+308-1.79E+308

浮点数在计算机中如何表示

可以看出单精度float以及双精度的表示范围和其他基本数据类型的运算方式并不一致,那么这是为什么呢？这就涉及到了浮点数的表示方法,java语言在设计过程中，遵循了IEEE754标准。

根据国际标准IEEE 754，任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式：

1
2
3

(-1)^s表示符号位，当s=0，V为正数；当s=1，V为负数。
M表示有效数字，大于等于1，小于2。
2^E表示指数位。

举例来说，十进制的5.0，写成二进制是101.0，相当于1.01×2^2。那么，按照上面V的格式，可以得出s=0，M=1.01，E=2。
十进制的-5.0，写成二进制是-101.0，相当于-1.01×2^2。那么，s=1，M=1.01，E=2。
IEEE 754规定，对于32位的浮点数，最高的1位是符号位s，接着的8位是指数E，剩下的23位为有效数字M。

对于64位的浮点数，最高的1位是符号位S，接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M。

IEEE 754对有效数字M和指数E，还有一些特别规定。
前面说过，1≤M<2，也就是说，M可以写成1.xxxxxx的形式，其中xxxxxx表示小数部分。IEEE 754规定，在计算机内部保存M时，默认这个数的第一位总是1，因此可以被舍去，只保存后面的xxxxxx部分。比如保存1.01的时候，只保存01，等到读取的时候，再把第一位的1加上去。这样做的目的，是节省1位有效数字。以32位浮点数为例，留给M只有23位，将第一位的1舍去以后，等于可以保存24位有效数字。

至于指数E，情况就比较复杂。首先，E为一个无符号整数(unsigned int)。这意味着，如果E为8位，它的取值范围为0~~255；如果E为11位，它的取值范围为0~~2047。但是，我们知道，科学计数法中的E是可以出现负数的，所以IEEE 754规定，E的真实值必须再减去一个中间数，对于8位的E，这个中间数是127；对于11位的E，这个中间数是1023。
比如，2^10的E是10，所以保存成32位浮点数时，必须保存成10+127=137，即10001001。

然后，指数E还可以再分成三种情况：

(1) E不全为0或不全为1。这时，浮点数就采用上面的规则表示，即指数E的计算值减去127(或1023)，得到真实值，再将有效数字M前加上第一位的1。

(2) E全为0。这时，浮点数的指数E等于1-127(或者1-1023)，有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示±0，以及接近于0的很小的数字。

(3) E全为1。这时，如果有效数字M全为0，表示±无穷大(正负取决于符号位s)；如果有效数字M不全为0，表示这个数不是一个数(NaN)。

关于java中float说明

上面我们说过float的最小值是-3.4E+38,但是我们使用代码确发现:

1	System.out.println(Float.MIN_VALUE);//1.4E-45

这个1.4E-45是如何计算的？为什么仍然是一个正数呢?其实查看源代码可以发现这个值并不是float所表示的最小值,而是它所能表示的最接近0的数字(2^-149),这个如何得来的呢？可以查看IEEE754标准。

上面说了32位浮点数的有效数字是23位,那么其表示的最大值为8388608(小于10^7),按照十进制表示法是8.388608*10^6,所以float表示的精度(十进制)是6位。

参考博客
浮点数的二进制表示-阮一峰