计算机中的补码

二进制表示法

在计算机的世界里,只有0和1,我们也通常使用0和1来表示数字,比如8在计算机(8位机)中的二进制表示法就是00001000，那么负数呢？在计算机中如何表示负数呢？

大学学习过的计算机原理中告诉我们负数在计算机中是使用补码(维基百科中也叫作二补数)进行表示的，那么介绍这种表示方法之前想要介绍几个概念。

原码：将一个整数，转换成二进制，就是其原码。如单字节的5的原码为：0000 0101；-5的原码为1000 0101

反码：正数的反码就是其原码；负数的反码是将原码中，除符号位以外，每一位取反。如单字节的5的反码为：0000 0101；-5的原码为1111 1010。

补码：正数的补码就是其原码；负数的反码+1就是补码。如单字节的5的补码为：0000 0101；-5的补码为1111 1011。

System.out.println(Integer.toBinaryString(-5));
   System.out.println(Integer.toBinaryString(5));
   //在我的计算机中的输出结果为：
   -5的二进制为：11111111 11111111 11111111 11111011
5的二进制为： 101

为什么要使用补码表示负数？
假设我们不使用补码,而仍然采用高位标示符号位的方法，那么-5我们可以表示为1000 0101，那么我们来做一个加法。看看8+(-5)=3是否可以正确实现。

0 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0 1 
------------------
1 0 0 0 1 1 0 1

最终的结果是-13,很明显这个结果并不是我们想要的,难道需要为正数和负数相加设计一套新的电路？

现在我们来看看使用补码的方式，同样运行8+(-5)=3

  0 0 0 0 1 0 0 0
  1 1 1 1 1 0 1 1   
------------------
0 0 0 0 0 0 0 1 1  此时产生了溢出位，将被自动舍弃。

[1000 0101(-5源码)------>1111 1010(-5反码,除符号位之外取反)----->1111 1011(补码)]

此时，得到的就是我们想要的结果3了。

补码的本质

在回答补码为什么能正确实现加法运算之前，我们先看看它的本质，也就是那两个步骤的转换方法是怎么来的。
要将正数转成对应的负数，其实只要用0减去这个数就可以了。比如，-8其实就是0-8。
已知8的二进制是00001000，-8就可以用下面的式子求出：

　0 0 0 0 0 0 0 0 
－0 0 0 0 １0 0 0 
－－－－－－－－－

因为00000000（被减数）小于0000100（减数），所以不够减。请回忆一下小学算术，如果被减数的某一位小于减数，我们怎么办？很简单，问上一位借1就可以了。

所以，0000000也问上一位借了1，也就是说，被减数其实是100000000，算式也就改写成：

1 0 0 0 0 0 0 0 0 
－0 0 0 0 1 0 0 0 
－－－－－－－－－
　1 1 1 1 1 0 0 0 

进一步观察，可以发现100000000 = 11111111 + 1，所以上面的式子可以拆成两个：

　1 1 1 1 1 1 1 1
－0 0 0 0 1 0 0 0 
－－－－－－－－－
　1 1 1 1 0 1 1 1
＋0 0 0 0 0 0 0 1
－－－－－－－－－
　1 1 1 1 1 0 0 0 

2的补码的两个转换步骤就是这么来的。

为什么正数加法适用补码?

实际上，我们要证明的是，X-Y或X+(-Y)可以用X加上Y的2的补码完成。
Y的2的补码等于(11111111-Y)+1。所以，X加上Y的2的补码，就等于X + (11111111-Y) + 1，我们假定这个算式的结果等于Z，即 Z = X + (11111111-Y) + 1

那么Z = X - Y + 100000000 = X-Y(100000000在8位机中产生了溢出),这就证明了可以使用补码来进行负数的加法运算

关于补码的其他说明

1. 二进制补码
2. 二补数–维基百科